Olympiades 2019 - Addition sur une courbe

On considère l’ensemble  \((E)\) des points du plan dont les coordonnées  \((x, y)\) satisfont la relation

\(y² = \dfrac{1}{6}x(x+1)(2x+1)\) .

1. Un peu d’exploration

    a. Les points de coordonnées \((1, 1)\) et \((24, 70)\) appartiennent-ils à cet ensemble ? Fournir deux autres exemples.
    b. Les points de coordonnées \((-2, 1)\) et \(\left (-\dfrac{1}{4}, 3\right)\) appartiennent-ils à \((E)\) ?
    c. Quelles relations doit vérifier le réel \(x\) pour qu’il y ait un point d’abscisse \(x\) dans l’ensemble \((E)\) ? Dans ce cas, combien y a-t-il de points d’abscisse \(x\) dans \((E)\) ?

2. La forme de la courbe

    a. Sur l’annexe qui servira aux tracés, on a représenté l’ensemble \((E)\) qu’on appellera dorénavant courbe \((E)\) . On peut identifier des « branches infinies ».
Comment expliquer que le quotient \(\dfrac{3y^2}{x^3}\)   s’approche de \(1\) lorsque l’abscisse \(x\) du point de coordonnées \((x, y)\) de la courbe devient très grande ? On a alors  \(\approx \dfrac{ x\sqrt x}{\sqrt3}\) .
    b. Expliquer pourquoi la courbe \((E)\) présente une partie « fermée ».

3. Somme de deux points

    a. Sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe \((E)\) . Pour tout couple \((A, B)\) de points distincts de la courbe \((E)\) , on trace la droite \((AB)\) . Quand elle recoupe la courbe en un troisième point \(D\) , on note \(A\bigoplus B\) le symétrique de \(D\) par rapport à l’axe des abscisses. Représenter le point \(A\bigoplus B\) sur la figure 1.
    b. Pour tout point \(A\) de la courbe \((E)\) , on trace la tangente en \(A\) à la courbe \((E)\) . Quand elle recoupe la courbe \((E)\) en un point \(D\) , on note \(A\bigoplus A\) le symétrique de \(D\) par rapport à l’axe des abscisses. Représenter le point \(A\bigoplus A\) sur la figure 2.
    c. On note \(2A = A\bigoplus A , 3A= A\bigoplus 2A ,\) etc. Représenter le point \(3A\)  sur la figure 3.

4. Un système de codage

La correspondance entre Alice et Bruno est protégée par une clef : les quatre premières décimales de l’abscisse du point \(ab\text{M}\) , obtenu de la manière suivante :
1. Ils choisissent ensemble un point  \(\text{M}\) sur la courbe \((E)\) .
2. Alice choisit un entier \(a\) et ne donne à Bruno que les coordonnées du point  \(a\text{M}\) .
3. Bruno choisit un entier \(b\) et ne donne à Alice que les coordonnées du point \(b\text{M}\) .
Dans ce processus, ils choisissent le point  \(\text{M}\) de coordonnées \((1, 1)\) . Alice donne à Bruno les coordonnées \((0,02083333, \;0,06076389)\) . Bruno donne à Alice les coordonnées \((0,02908309, −0,07265188)\) . En s’aidant du tableau fourni ci-dessous, indiquer quelle est la clef.

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline k&\text{Abscisse du point kM } &\text{Ordonnée du point kM}\\\hline1&1&1\\\hline2&0,02083333 &0,06076389\\\hline3&5,63265731&−8,73904883\\\hline4&1,06401114&1,07001139\\\hline5&0,02908309&−0,07265188\\\hline6&3,93363878&5,35550512\\\hline7&0,651426&−0,64256859\\\hline8&0,00115486&0,01389763\\\hline9&107,8640&−651,271826\\\hline10&26,5927&81,40364156\\\hline\end{array}\)